【bzoj2324】[ZJOI2011]营救皮卡丘

2014年10月9日1,9900

Description

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了!这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅!为了皮卡丘,也为了正义,小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N个据点,据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发,营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见,我们将真新镇视为0号据点,一开始K个人都在0号点。

由于火箭队的重重布防,要想摧毁K号据点,必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点,并且,如果K-1号据点没有被摧毁,由于防御的连锁性,小智一行任何一个人进入据点K,都会被发现,并产生严重后果。因此,在K-1号据点被摧毁之前,任何人是不能够经过K号据点的。

为了简化问题,我们忽略战斗环节,小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。

K个人是可以分头行动的,只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后,经过K号据点,K号据点就被摧毁了。显然的,只要N号据点被摧毁,皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的,因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时,使得K个人所经过的道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧!

Input

第一行包含三个正整数NMK。表示一共有N+1个据点,分别从0到N编号,以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。

接下来M行,每行三个非负整数,第i行的整数为AiBiLi。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。

Output

仅包含一个整数S,为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

Sample Input

3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1

Sample Output

3
【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中,小智先从真新镇前往1号点,接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后,小霞从真新镇出发直接前往3号据点,救出皮卡丘。

HINT

对于10%的数据满足 K = 1,且N = 3,小智将独自前去营救皮卡丘;

对于20%的数据满足 K ≤ 3,且N ≤ 20,被小智单挑剿灭的火箭队加强了防御,增加了据点数;

对于40%的数据满足 K ≤ 3,且N ≤ 100,面对加强的防御,小智拉来了好朋友小霞和小刚,一同前去营救;

对于另外20%的数据满足任意一对据点之间均存在道路,并且对任意的0 ≤ X,Y,Z ≤ N,有不等式L(X,Z) ≤ L(X,Y) + L(Y,Z)成立;

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。

至于为什么K ≤ 10,你可以认为最终在小智的号召下,小智,小霞,小刚,小建,小遥,小胜,小光,艾莉丝,天桐,还有去日本旅游的黑猫警长,一同前去大战火箭队。

题解

首先,最佳的营救方案每次一定都走带限制的最短路

n<=150,floyd预处理,用dis(i,k)+dis(k,j)更新dis(i,j)的时候,k号点编号不能大于i,j

图简化为拓扑图,问题转化为在拓扑图中找出至多K条路径,使得总长度最小

1.S->0 流量K费用0

2.i->j 流量1费用dis[i][j]

图中无汇,要求路径覆盖所有点,就再给每个点拆点限下界为1

即图变为

1.S->0’ 流量K费用0

2.i’->j 流量1费用dis[i][j]

3.S->i’ 流量1费用0

4.i->T 流量1费用0

最小费用可行流即为答案