「网络流24题」负载平衡问题

2014年3月11日5,7681

题目描述 Description

G 公司有n 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量不等。如何用最
少搬运量可以使n 个仓库的库存数量相同。搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。
«编程任务：
对于给定的n 个环形排列的仓库的库存量，编程计算使n 个仓库的库存数量相同的最少
搬运量。

输入描述 Input Description

第1 行中有1 个正整数n（n<=100），表示有n
个仓库。第2 行中有n个正整数，表示n个仓库的库存量。

输出描述 Output Description

将计算出的最少搬运量输出

样例输入 Sample Input

5
17 9 14 16 4

样例输出 Sample Output

11

题解

「问题分析」

转化为供求平衡问题，用最小费用最大流解决。

「建模方法」

首先求出所有仓库存货量平均值，设第i个仓库的盈余量为A[i]，A[i] = 第i个仓库原有存货量 – 平均存货量。建立二分图，把每个仓库抽象为两个节点Xi和Yi。增设附加源S汇T。

1、如果A[i]>0，从S向Xi连一条容量为A[i]，费用为0的有向边。
2、如果A[i]<0，从Yi向T连一条容量为-A[i]，费用为0的有向边。
3、每个Xi向两个相邻顶点j，从Xi到Xj连接一条容量为无穷大，费用为1的有向边，从Xi到Yj连接一条容量为无穷大，费用为1的有向边。

求最小费用最大流，最小费用流值就是最少搬运量。

「建模分析」

计算出每个仓库的盈余后，可以把问题转化为供求问题。建立供求网络，把二分图X集合中所有节点看做供应节点，Y集合所有节点看做需求节点，在能一次搬运满足供需的Xi和Yj之间连接一条费用为1的有向边，表示搬运一个单位货物费用为1。另外还要在Xi与相邻的Xj之间连接边，表示货物可以暂时搬运过去，不立即满足需求，费用也为1。最大流满足了所有的盈余和亏损供求平衡，最小费用就是最少搬运量。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define inf 0x7fffffff
#define T 2001
using namespace std;
int n,head[2005],q[2005],dis[2005],from[2005],a[1005],cnt=1,sum,ans;
bool inq[2005];
struct data{int from,to,next,v,c;}e[100001];
void ins(int u,int v,int w,int c)
{
    cnt++;
    e[cnt].from=u;e[cnt].to=v;
    e[cnt].v=w;e[cnt].c=c;
    e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}
void insert(int u,int v,int w,int c)
{ins(u,v,w,c);ins(v,u,0,-c);}
bool spfa()
{
    for(int i=0;i<=T;i++)dis[i]=inf;
    int t=0,w=1,i,now;
    dis[0]=q[0]=0;inq[0]=1;
    while(t!=w)
    {
        now=q[t];t++;if(t==2001)t=0;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
        {
            if(e[i].v&&dis[e[i].to]>dis[now]+e[i].c)
            {
                from[e[i].to]=i;
                dis[e[i].to]=dis[now]+e[i].c;
                if(!inq[e[i].to])
                {
                    inq[e[i].to]=1;
                    q[w++]=e[i].to;
                    if(w==2001)w=0;
                }
            }
        }
        inq[now]=0;
    }
    if(dis[T]==inf)return 0;return 1;
}
void mcf()
{
    int i,x=inf;
    i=from[T];
    while(i)
    {
        x=min(e[i].v,x);
        i=from[e[i].from];
    }
    i=from[T];
    while(i)
    {
        e[i].v-=x;
        e[i^1].v+=x;
        ans+=x*e[i].c;
        i=from[e[i].from];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum+=a[i];
            }
    sum/=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]-=sum;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
            if(a[i]>0)insert(0,i,a[i],0);
            else insert(i+n,T,-a[i],0);
            }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i!=1){
        insert(i,i-1,inf,1);
        insert(i,i-1+n,inf,1);}
        if(i!=n){
        insert(i,i+1,inf,1);
        insert(i,i+1+n,inf,1);}
    }
    insert(n,1,inf,1);
    insert(n,1+n,inf,1);
    insert(1,n,inf,1);
    insert(1,n+n,inf,1);
    while(spfa())mcf();
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

#include<iostream>

#include<cstdio>

#define inf 0x7fffffff

#define T 2001

using namespace std;

int n,head[2005],q[2005],dis[2005],from[2005],a[1005],cnt=1,sum,ans;

bool inq[2005];

struct data{int from,to,next,v,c;}e[100001];

void ins(int u,int v,int w,int c)

{

cnt++;

e[cnt].from=u;e[cnt].to=v;

e[cnt].v=w;e[cnt].c=c;

e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;

}

void insert(int u,int v,int w,int c)

{ins(u,v,w,c);ins(v,u,0,-c);}

bool spfa()

{

for(int i=0;i<=T;i++)dis[i]=inf;

int t=0,w=1,i,now;

dis[0]=q[0]=0;inq[0]=1;

while(t!=w)

{

now=q[t];t++;if(t==2001)t=0;

for(int i=head[now];i;i=e[i].next)

{

if(e[i].v&&dis[e[i].to]>dis[now]+e[i].c)

{

from[e[i].to]=i;

dis[e[i].to]=dis[now]+e[i].c;

if(!inq[e[i].to])

{

inq[e[i].to]=1;

q[w++]=e[i].to;

if(w==2001)w=0;

}

inq[now]=0;

}

if(dis[T]==inf)return 0;return 1;

}

void mcf()

{

int i,x=inf;

i=from[T];

while(i)

{

x=min(e[i].v,x);

i=from[e[i].from];

}

i=from[T];

while(i)

{

e[i].v-=x;

e[i^1].v+=x;

ans+=x*e[i].c;

i=from[e[i].from];

}

int main()

{

scanf("%d",&n);

for(int i=1;i<=n;i++)

{

scanf("%d",&a[i]);

sum+=a[i];

}

sum/=n;

for(int i=1;i<=n;i++)a[i]-=sum;

for(int i=1;i<=n;i++)

{

if(a[i]>0)insert(0,i,a[i],0);

else insert(i+n,T,-a[i],0);

}

for(int i=1;i<=n;i++)

{

if(i!=1){

insert(i,i-1,inf,1);

insert(i,i-1+n,inf,1);}

if(i!=n){

insert(i,i+1,inf,1);

insert(i,i+1+n,inf,1);}

}

insert(n,1,inf,1);

insert(n,1+n,inf,1);

insert(1,n,inf,1);

insert(1,n+n,inf,1);

while(spfa())mcf();

printf("%d",ans);

return 0;

}

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