线段树入门

2013年12月7日3,6310

线段树入门(转)

好久没写过算法了,添一个吧,写一个线段树的入门知识,比较大众化。

上次在湖大,其中的一道题数据很强,我试了好多种优化都TLE,相信只能用线段树才能过。回来之后暗暗又学了一次线段树,想想好像是第三次学了,像网络流一样每学一次都有新的体会。

把问题简化一下:

在自然数,且所有的数不大于30000的范围内讨论一个问题:现在已知n条线段,把端点依次输入告诉你,然后有m个询问,每个询问输入一个点,要求这个点在多少条线段上出现过;

最基本的解法当然就是读一个点,就把所有线段比一下,看看在不在线段中;

每次询问都要把n条线段查一次,那么m次询问,就要运算m*n次,复杂度就是O(m*n)

这道题m和n都是30000,那么计算量达到了10^9;而计算机1秒的计算量大约是10^8的数量级,所以这种方法无论怎么优化都是超时

—–

因为n条线段是固定的,所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费;

线段树就是可以解决这类问题的数据结构

举例说明:已知线段[2,5] [4,6] [0,7];求点2,4,7分别出现了多少次

在[0,7]区间上建立一棵满二叉树:(为了和已知线段区别,用【】表示线段树中的线段)

【0,7】
/                                            \
【0,3】                                           【4,7】
/               \                                    /                \
【0,1】             【2,3】                 【4,5】               【6,7】
/      \                 /      \                     /      \                   /      \
【0,0】 【1,1】【2,2】 【3,3】   【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】

每个节点用结构体:

struct line
{
int left,right;//左端点、右端点
int n;//记录这条线段出现了多少次,默认为0
}a[16];

和堆类似,满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];

然后对于已知的线段依次进行插入操作:

从树根开始调用递归函数insert

void insert(int s,int t,int step)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{
if (s==a[step].left && t==a[step].right)
{
a[step].n++;//插入的线段匹配则此条线段的记录+1
return;//插入结束返回
}
if (a[step].left==a[step].right)   return;//当前线段树的线段没有儿子,插入结束返回
int mid=(a[step].left+a[step].right)/2;
if (mid>=t)    insert(s,t,step*2);//如果中点在t的右边,则应该插入到左儿子
else if (mid<s)    insert(s,t,step*2+1);//如果中点在s的左边,则应该插入到右儿子
else//否则,中点一定在s和t之间,把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
{
insert(s,mid,step*2);
insert(mid+1,t,step*2+1);
}
}

三条已知线段插入过程:

[2,5]

–[2,5]与【0,7】比较,分成两部分:[2,3]插到左儿子【0,3】,[4,5]插到右儿子【4,7】

–[2,3]与【0,3】比较,插到右儿子【2,3】;[4,5]和【4,7】比较,插到左儿子【4,5】

–[2,3]与【2,3】匹配,【2,3】记录+1;[4,5]与【4,5】匹配,【4,5】记录+1

[4,6]

–[4,6]与【0,7】比较,插到右儿子【4,7】

–[4,6]与【4,7】比较,分成两部分,[4,5]插到左儿子【4,5】;[6,6]插到右儿子【6,7】

–[4,5]与【4,5】匹配,【4,5】记录+1;[6,6]与【6,7】比较,插到左儿子【6,6】

–[6,6]与【6,6】匹配,【6,6】记录+1

[0,7]

–[0,7]与【0,7】匹配,【0,7】记录+1

插入过程结束,线段树上的记录如下(红色数字为每条线段的记录n):

【0,7】
1
/                                            \
【0,3】                                           【4,7】
0                                                     0
/                 \                                     /                 \
【0,1】                 【2,3】                【4,5】                【6,7】
0                           1                          2                         0
/    \                      /      \                     /     \                    /      \
【0,0】 【1,1】 【2,2】 【3,3】 【4,4】 【5,5】 【6,6】 【7,7】
0            0            0            0            0            0           1           0

询问操作和插入操作类似,也是递归过程,略

2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的记录n加起来,结果为2

4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的记录n加起来,结果为3

7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的记录n加起来,结果为1

不管是插入操作还是查询操作,每次操作的执行次数仅为树的深度——logN

建树有n次插入操作,n*logN,一次查询要logN,m次就是m*logN;总共复杂度O(n+m)*logN,这道题N不超过30000,logN约等于14,所以计算量在10^5~10^6之间,比普通方法快了1000倍;

这道题是线段树最基本的操作,只用到了插入和查找;删除操作和插入类似,扩展功能的还有测度、连续段数等等,在N数据范围很大的时候,依然可以用离散化的方法建树。

湖大的那道题目绕了个小弯子,alpc12有详细的题目和解题报告,有兴趣的话可以看看http://www.cppblog.com/sicheng/archive/2008/01/09/40791.html

线段树的经典题目就是poj1177的picturehttp://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1177

只用到了插入和查找;删除操作和插入类似,扩展功能的还有测度、连续段数等等,在N数据范围很大的时候,依然可以用离散化的方法建树。

湖大的那道题目绕了个小弯子,alpc12有详细的题目和解题报告,有兴趣的话可以看看http://www.cppblog.com/sicheng/archive/2008/01/09/40791.html

线段树的经典题目就是poj1177的picturehttp://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1177