树状数组入门

2013年12月28日2,0234

如果给定一个数组,要你求里面所有数的和,一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候,累加就显得太耗时了,时间复杂度为O(n),并且采用累加的方法还有一个局限,那就是,当修改掉数组中的元素后,仍然要你求数组中某段元素的和,就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组,他的时间复杂度为O(lgn),相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组:

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图:

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律:

据图可知:c1=a1,c2=a1+a2,c3=a3,c4=a1+a2+a3+a4,c5=a5,c6=a5+a6,c7=a7,c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,c9=a9,c10=a9+a10,c11=a11……..c16=a1+a2+a3+a4+a5+…….+a16。

分析上面的几组式子可知,当 i 为奇数时,ci=ai ;当 i 为偶数时,就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂,例如,6 的因子中有 2 的一次幂,等于 2 ,所以 c6=a5+a6(由六向前数两个数的和),4 的因子中有 2 的两次幂,等于 4 ,所以 c4=a1+a2+a3+a4(由四向前数四个数的和)。

(一)有公式:cn=a(n-a^k+1)+………+an(其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数)。

那么,如何求 a^k 呢?求法如下:

lowbit()的返回值就是 2^k 次方的值。

求出来 2^k 之后,数组 c 的值就都出来了,接下来我们要求数组中所有元素的和。

(二)求数组的和的算法如下:

(1)首先,令sum=0,转向第二步;

(2)接下来判断,如果 n>0 的话,就令sum=sum+cn转向第三步,否则的话,终止算法,返回 sum 的值;

(3)n=n – lowbit(n)(将n的二进制表示的最后一个零删掉),回第二步。

代码实现:

(三)当数组中的元素有变更时,树状数组就发挥它的优势了,算法如下(修改为给某个节点 i 加上 x ):

(1)当 i<=n 时,执行下一步;否则的话,算法结束;

(2)ci=ci+x ,i=i+lowbit(i)(在 i 的二进制表示的最后加零),返回第一步。

代码实现:


 

  • The_Weak2013年12月29日 下午6:32 回复

    orzorzorz

    #1  
  • 圜点2016年2月27日 下午9:26 回复

    orzorzorz

    #2  
  • ksq20132016年6月28日 下午7:15 回复

    请问树状数组区间修改怎么写?

    #3  
    • hzwer2016年6月28日 下午11:19 回复
      admin

      我并没有掌握。。。

      #31