NOIP20062^k进制数

2013年12月20日2,1511

【问题描述】

   设r是个2k 进制数,并满足以下条件:

(1)r至少是个2位的2k 进制数。

(2)作为2k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。

   在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<w≤30000)是事先给定的。

   问:满足上述条件的不同的r共有多少个?

   我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k 进制数r。

   例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(23=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:

   2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。

   3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。

   所以,满足要求的r共有36个。

【输入文件】

 输入文件digital.in只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:

   W

【输出文件】

 输出文件digital.out为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。

 (提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)

【输入样例】

 7

【输出样例】

36

题目中的那个从另一角度分析就已经蕴含了这个题的基本思路。就以题目的例子为例,长度为7位的01字串按3位一段就这样分:0 000 000。其中除了首段,每段都小于(111)2,也即小于2k,而首段自然是小于2w%k(对于w%k为0时也成立)了。

    如果首段为0,则当这个2k进制数位数分别为2、3、…、[n/k]时,如果用b_max表示2k,对应的解的个数分别为C[b_max-1][2]、C[b_max-1][3]、…、C[b_max-1][n/k](C[i][j]表示从i个数里选j个构成一组组合)。

    如果首段不为0,设首段为x,则解就有c[b_max-x-1][n/k]个。

    这样,求解的个数就搞定了,剩下的活就是高精了。求组合数可以用这个公式:C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m],这样高精就只用加法了。