【bzoj1096】[ZJOI2007]仓库建设

2014年5月18日2,9071

Description

L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据: 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。【数据规模】对于20%的数据, N ≤500;对于40%的数据, N ≤10000;对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

f[i]=min(f[j]+cal(j,i))

主要问题是如何在O1的时间内计算cal(j,i),即j+1到i这一段存入i所需的费用

我们可以利用前缀和的思想

sum[i]为p[i]的前缀和

如果所有物品都从0开始运到i,则费用为(sum[i]-sum[j])*x[i]

但由于物品的起始点不在0,所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]

b[i]为x[i]*p[i]的前缀和

可得f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i]

如果j>k且j比k更优

f[j]-f[k]+b[j]-b[k]<(sum[j]-sum[k])*x[i]

然后就解决了

 

  • vayh_E2017年4月8日 上午10:30 回复

    黄学长,那句 “所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]” 感觉是不是写成 “每个工厂可以少花费x[k]*p[k](j<=k<i)”比较好啊

    #1