「BZOJ1010」[HNOI2008] 玩具装箱toy
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
3
4
2
1
4
Sample Output
题解
2014.3.20
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2) (j<i)
令f[i]=sum[i]+i,c=1+l
则dp[i]=min(dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2)
1.证明决策单调性
假设在状态i处的k决策优与j决策，即
dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2
则对于i后的所有状态t，要证明决策单调性
即dp[k]+(f[t]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)^2
只要证
dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)^2
只要证
dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2+2*v*(f[i]-f[k]-c)+v^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2+2*v*(f[i]-f[j]-c)+v^2
只要证
2*v*(f[i]-f[k]-c)<=2*v*(f[i]-f[j]-c)
即f[k]>=f[j]（显然）
证明完毕
2.求斜率方程
因为dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2
展开
dp[k]+f[i]^2-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]+f[i]^2-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2
即
dp[k]-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2
即(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]
f[i]是单调递增的，我们使用队列维护一个下凸壳，每次取出队头作为决策
加入决策i时，令队尾为q[r]，前一个为q[r-1]
满足斜率(q[r],i)<斜率(q[r-1],q[r])时，显然队尾是无效的，将其弹出
2015.7.14 UPD：更新了能看的代码
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#include<map> #include<set> #include<ctime> #include<cstdio> #include<cstring> #include<vector> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> #define inf 1000000000 #define ll long long using namespace std; ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n,L,l,r; int c[50005],q[50005]; ll s[50005],f[50005],C; double slop(int j,int k) { return (f[k]-f[j]+(s[k]+C)*(s[k]+C)-(s[j]+C)*(s[j]+C))/(2.0*(s[k]-s[j])); } void dp() { l=1;r=0;q[++r]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=s[i])l++; int t=q[l]; f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C); while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r]))r--; q[++r]=i; } } int main() { n=read();L=read();C=L+1; for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+c[i]; for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=i; dp(); printf("%lld\n",f[n]); return 0; } |
2014.11.28
决策单调性这个看论文吧
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<set> #include<ctime> #include<queue> #include<cmath> #include<algorithm> #define inf 1000000000 #define ll long long using namespace std; int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n; ll L,c[50005],f[50005],sum[50005]; struct data{ int l,r,p; }q[50005]; ll sqr(ll x) { return x*x; } ll cal(int j,int i) { return f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L); } int find(data t,int q) { int l=t.l,r=t.r,mid; while(l<=r) { mid=(l+r)>>1; if(cal(q,mid)<cal(t.p,mid))r=mid-1; else l=mid+1; } return l; } void dp() { int head=1,tail=0; q[++tail]=(data){0,n,0}; for(int i=1;i<=n;i++) { if(i>q[head].r)head++; f[i]=cal(q[head].p,i); if(head>tail||cal(i,n)<cal(q[tail].p,n)) { while(head<=tail&&cal(i,q[tail].l)<cal(q[tail].p,q[tail].l)) tail--; if(head<=tail) { int t=find(q[tail],i); q[tail].r=t-1; q[++tail]=(data){t,n,i}; } else q[++tail]=(data){i,n,i}; } } } int main() { n=read();L=read(); for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=read(); for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+c[i]; dp(); printf("%lld\n",f[n]); return 0; } |
OI 课件=>
学长，渣渣不会做求教
学长难道不应该是f[t]=f[j]+v吗（窝也是蒟蒻错了求不吐槽
按照我的理解改了下
怎么看着证明第一行有点不对吗。。
黄学长您确定是dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-dp[j]-c)^2
而不是 dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2 ?
我是蒟蒻错了请轻喷= =
不过不管是对错还是上下文好像都不对啊。。。
手抖。。
额。。。怎么成图片了= =
我是HZY