【bzoj2038】[2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

2014年4月26日5,03523

Description

作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1N编号,然后从编号LR(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

Output

包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。

题解

莫队算法
如果我们已知[l,r]的答案,能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案,即可使用莫队算法。时间复杂度为O(n^1.5)。如果只能在logn的时间移动区间,则时间复杂度是O(n^1.5*log n)。
其实就是找一个数据结构支持插入、删除时维护当前答案。

这道题的话我们很容易用数组来实现,做到O(1)的从[l,r]转移到[l,r+1]与[l+1,r]。

那么莫队算法怎么做呢?以下都是在转移为O(1)的基础下讨论的时间复杂度。另外由于n与m同阶,就统一写n。
如果已知[l,r]的答案,要求[l’,r’]的答案,我们很容易通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。
将n个数分成sqrt(n)块。
按区间排序,以左端点所在块内为第一关键字,右端点为第二关键字,进行排序,也就是以(pos [l],r)排序
然后按这个排序直接暴力,复杂度分析是这样的:
1、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5,跨越一块也不会超过n^0.5,忽略*2。由于有m次询问(和n同级),所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了

 

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  3. 黄学子,您代码中for(int i=1;i<=n;i++) pos[i]=(i-1)/block+1; 怎么理解啊。。按照我查阅所知道的资料,这是处理询问所在的块,可是我还是不明白代码所表达的意思。。窝比较笨,还望黄学子指点==,谢谢。。。

    • 莫队算法是优先按照询问左端点所在的块排序
      对于一个询问l,r pos[l]得到l所在的块
      比如序列1-9中,1-3标号1,4-6标号2,7-9标号3
      pos[6] = 2 其实就是省去每次都要写的计算式

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