「BZOJ1013」[JSOI2008] 球形空间产生器sphere

2014年3月13日8,1817

Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题解

第一次写高斯消元

先从二维进行考虑

设圆心（x，y），给定的点（a，b）

（a，b）到圆心的距离为

(a-x)^2+(b-y)^2

=a^2-2ax+x^2+b^2-2by+y^2

于是我们可以用一个点将其它两个点变为俩个方程

例如还有一个点（a1，b1）

则2(a1-a)x+2(b1-b)y=a1^2-a^2+b1^2-b^2

然后解方程

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-6
using namespace std;
int n;
double f[21],a[21][21];
double sqr(double x){return x*x;}
void ini()
{
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=n;j++)
       {
           double t;
           scanf("%lf",&t);
           a[i][j]=2*(t-f[j]);
           a[i][n+1]+=sqr(t)-sqr(f[j]); 
       }
}
bool gauss()
{
     int now=1,to;double t;
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
         for(to=now;to<=n;to++)if(fabs(a[to][i])>eps)break;
         if(to>n)continue;
         if(to!=now)for(int j=1;j<=n+1;j++)
            swap(a[to][j],a[now][j]);
         t=a[now][i];
         for(int j=1;j<=n+1;j++)a[now][j]/=t;
         for(int j=1;j<=n;j++)
             if(j!=now)
             {
             t=a[j][i];
             for(int k=1;k<=n+1;k++)
                a[j][k]-=t*a[now][k];
         		}
         now++;
     }
     for(int i=now;i<=n;i++)
        if(fabs(a[i][n+1])>eps)return 0;
     return 1;
}
int main()
{
    ini();
    gauss();
   	for(int i=1;i<=n-1;i++)
        printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
	printf("%.3lf\n",a[n][n+1]);
    return 0;
}