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题解

置换群2333

来自novosbirsk的题解

1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。
2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7
明显，目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：
(8 2 7)(4 3 5)。
3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：
sum – min + (len – 1) * min
化简后为：
sum + (len – 2) * min
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。

4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：
1 8 9 7 6
可分解为两个循环：
(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：
sum + min + (len + 1) * smallest
其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。

5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum – min + (len – 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。

6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。

7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。