「BZOJ2705」[SDOI2012] Longge的问题

2014年6月15日6,4540

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

Sample Output

HINT

「数据范围」
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解

题目中要求出∑gcd(i,N)(1<=i<=N)。

枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）

因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=euler(n/k)

phi可以在根号的时间内求出

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
int m;
ll phi(ll x)
{
    ll t=x;
    for(ll i=2;i<=m;i++)
        if(x%i==0)
        {
            t=t/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    if(x>1)t=t/x*(x-1);
    return t;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	m=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
    	if(n%i==0)
    	{
	        ans+=(ll)i*phi(n/i);
            if(i*i<n)ans+=(ll)(n/i)*phi(i);  
	    }
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#define ll long long

using namespace std;

ll n,ans;

int m;

ll phi(ll x)

{

ll t=x;

for(ll i=2;i<=m;i++)

if(x%i==0)

{

t=t/i*(i-1);

while(x%i==0)x/=i;

}

if(x>1)t=t/x*(x-1);

return t;

}

int main()

{

scanf("%lld",&n);

m=sqrt(n);

for(int i=1;i<=m;i++)

if(n%i==0)

{

ans+=(ll)i*phi(n/i);

if(i*i<n)ans+=(ll)(n/i)*phi(i);

}

printf("%lld",ans);

return 0;

}

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