「BZOJ1101」[POI2007] Zap

2014年9月1日9,1563

Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

题解

复制鏼爷的题解

推导：

令 $a'=\left \lfloor a/d \right \rfloor,b'=\left \lfloor b/d \right \rfloor$
$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\text{gcd}(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\text{gcd}(i,j)==1]$
用莫比乌斯函数的性质把求和的式子换掉，
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d|\text{gcd}(i,j)}\mu(d)$
其中 $d|\text{gcd}(i,j) \Leftrightarrow d|i \,\text{and} \,d|j$ ，更换求和指标，
$=\sum_{d=1}^{a'}\mu(d)\left \lfloor a'/d \right \rfloor \left \lfloor b'/d \right \rfloor$
容易知道 $\left\lfloor a'/d\right \rfloor$ 单调不上升，且最多有 $2\sqrt{a'}$ 种不同的取值。所以按取值分成 $O(\sqrt{n})$ 个段分别处理，一个连续段内的和可以用预处理出的莫比乌斯函数前缀和求出

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<set>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long 
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int tot;
int mu[50005],sum[50005],pri[50005];
bool mark[50005];
void get()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++)
	{
		if(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++)
		{
			mark[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=50000;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int cal(int n,int m)
{
	if(n>m)swap(n,m);
	int ans=0,pos;
	for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
	{
		pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	get();
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int a=read(),b=read(),d=read();
		printf("%d\n",cal(a/d,b/d));
	}
	return 0;
}

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<set>

#include<ctime>

#include<vector>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<map>

#define ll long long

using namespace std;

inline int read()

{

int x=0,f=1;char ch=getchar();

while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

return x*f;

}

int tot;

int mu[50005],sum[50005],pri[50005];

bool mark[50005];

void get()

{

mu[1]=1;

for(int i=2;i<=50000;i++)

{

if(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;

for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++)

{

mark[i*pri[j]]=1;

if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}

else mu[i*pri[j]]=-mu[i];

}

for(int i=1;i<=50000;i++)

sum[i]=sum[i-1]+mu[i];

}

int cal(int n,int m)

{

if(n>m)swap(n,m);

int ans=0,pos;

for(int i=1;i<=n;i=pos+1)

{

pos=min(n/(n/i),m/(m/i));

ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);

}

return ans;

}

int main()

{

get();

int T=read();

while(T--)

{

int a=read(),b=read(),d=read();

printf("%d\n",cal(a/d,b/d));

}

return 0;

}

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