「BZOJ1041」[HAOI2008] 圆上的整点

2014年1月27日16,2384

Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

Output

整点个数

Sample Input

Sample Output

HINT

n<=2000 000 000

题解

以下来自http://blog.csdn.net/csyzcyj/article/details/10044629

「分析」：

样例图示：

首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。

有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

「时间复杂度分析」：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long R,ans;
long long gcd(long long x,long long y){return x%y==0? y:gcd(y,x%y);}
bool check(long long y,double x)
{
      if(x==floor(x))
      {
            long long x1=(long long)floor(x);
            if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)
                  return true;
      }
      return false;
}
int main()
{
      scanf("%lld",&R);
      for(long long d=1;d<=sqrt(2*R);d++)
      {
            if((2*R)%d==0)
            {
                  for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(2*R/(2*d));a++)
                  {
                        double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
                        if(check(a,b))ans++;
                  }
                  if(d!=(2*R)/d)
                  {
                        for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(d/2);a++)
                        {
                              double b=sqrt(d-a*a);
                              if(check(a,b))
                                    ans++;
                        }
                  }
            }
      }    
      printf("%lld",ans*4+4); 
      return 0;
}